Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 A №22
$\dfrac{\sqrt{8+x^3}-4}{x-2}\ge x$ тэнцэтгэл бишийг хялбарчилж, $\sqrt{\fbox{a}-\fbox{b}x+x^2}>0$ тул орхиж, $\dfrac{\sqrt{\fbox{c}+x}-\sqrt{x^2-\fbox{d}x+\fbox{e}}}{x-2}\ge0$ хэлбэрт шилжүүлж шийдийг олбол $x\in[-\fbox{f};\fbox{g}]$ байна.
ab = 42
cde = 224
fg = 21
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 7.35%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох мужийг олоод тэнцэтгэл бишийг $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0$ хэлбэрт оруулж бод.
$$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
f(x)\ge0\\
g(x)>0
\end{array}\right.\bigcup\left\{\begin{array}{c}
f(x)\le 0\\
g(x)<0
\end{array}\right.$$
Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь $8+x^3\ge0$, $x-2\neq0$ тул $x\ge-2$, $x\neq2$ байна.
Тэнцэтгэл бишийн баруун гар талыг зүүн гарт шилжүүлж ерөнхий хуваарь өгвөл: $$\dfrac{\sqrt{8+x^3}-(x^2-2x+4)}{x-2}\ge 0$$ $8+x^3=(x+2)(x^2-2x+4)$ ба $x^2-2x+4\ge0$ тул $x^2-2x+4=\sqrt{(x^2-2x+4)^2}$ байна. Иймд тэнцэтгэл биш $$\dfrac{\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}-\sqrt{(x^2-2x+4)(x^2-2x+4)}}{x-2}\ge 0\Leftrightarrow$$ $$\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4})}{x-2}\ge 0$$ $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{(x-1)^2+3}\ge0$ тул $\sqrt{x^2-2x+4}$ нь ТБ-ийн зүүн гар талын тэмдэгт нөлөөлөхгүй. Иймд тэнцэтгэл биш $$\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}}{x-2}\ge 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\ge0\\ x-2>0 \end{array}\right.\bigcup\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\le 0\\ x-2<0 \end{array}\right.$$ хэлбэртэй болно. $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x+2}\ge\sqrt{x^2-2x+4}\Leftrightarrow$$ $$x+2\ge x^2-2x+4\Leftrightarrow x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\le 0$$ тул $1 < x < 2$ болно. Иймд эхний тэнцэтгэл бишийн систем шийдгүй.
$\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\le0$ тэнцэтгэл бишийн шийд $x<1 \cup x>2$ тул хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн системийн шийд $x<1$ байна.
Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд $[-2;1[$ болно.
Тэнцэтгэл бишийн баруун гар талыг зүүн гарт шилжүүлж ерөнхий хуваарь өгвөл: $$\dfrac{\sqrt{8+x^3}-(x^2-2x+4)}{x-2}\ge 0$$ $8+x^3=(x+2)(x^2-2x+4)$ ба $x^2-2x+4\ge0$ тул $x^2-2x+4=\sqrt{(x^2-2x+4)^2}$ байна. Иймд тэнцэтгэл биш $$\dfrac{\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}-\sqrt{(x^2-2x+4)(x^2-2x+4)}}{x-2}\ge 0\Leftrightarrow$$ $$\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4})}{x-2}\ge 0$$ $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{(x-1)^2+3}\ge0$ тул $\sqrt{x^2-2x+4}$ нь ТБ-ийн зүүн гар талын тэмдэгт нөлөөлөхгүй. Иймд тэнцэтгэл биш $$\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}}{x-2}\ge 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\ge0\\ x-2>0 \end{array}\right.\bigcup\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\le 0\\ x-2<0 \end{array}\right.$$ хэлбэртэй болно. $$\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x+2}\ge\sqrt{x^2-2x+4}\Leftrightarrow$$ $$x+2\ge x^2-2x+4\Leftrightarrow x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\le 0$$ тул $1 < x < 2$ болно. Иймд эхний тэнцэтгэл бишийн систем шийдгүй.
$\sqrt{x+2}-\sqrt{x^2-2x+4}\le0$ тэнцэтгэл бишийн шийд $x<1 \cup x>2$ тул хоёр дахь тэнцэтгэл бишийн системийн шийд $x<1$ байна.
Тодорхойлогдох мужаа тооцвол тэнцэтгэл бишийн шийд $[-2;1[$ болно.