Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\dfrac{x^2+y(3x+11y)}{xy+2y^2}=5$ нь нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Бутархайн хуваарийг $y\neq 0$ тоонд хуваагаад $t=\dfrac{x}{y}$ орлуулга хийвэл $$\dfrac{t^2+3t+11}{t+2}=5$$ тэгшитгэл үүснэ. Иймд $x$, $y$-ийн хамаарлыг өгсөн нөхцөлөөс олж болно.

Бодолт: Зааварт ёсоор $t=\dfrac{x}{y}$ нь $$\dfrac{t^2+3t+11}{t+2}=5$$ тэгшитгэлийн шийд болно. Эндээс $t^2-2t+1=(t-1)^2=1$ буюу $\dfrac{x}{y}=1$ болно. Иймд $x=y$ тул $$\dfrac{x^3-2xy^2-3x^2y+7y^3}{x^3-2y^3}=\dfrac{x^3-2x^3-3x^3+7x^3}{x^3-2x^3}=-3$$ болов.

Заавар: Өгсөн нөхцөлийг хялбарчил.

Бодолт: $$\dfrac{x^2+y(3x+11y)}{xy+2y^2}=5\Rightarrow x^2+3xy+11y^2=5xy+10y^2\Rightarrow$$ $$x^2+3xy+11y^2-5xy-10y^2=$$ $$=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=0$$ тул $x=y$ байна. Иймд $$\dfrac{x^3-2xy^2-3x^2y+7y^3}{x^3-2y^3}=\dfrac{x^3-2x^3-3x^3+7x^3}{x^3-2x^3}=-3$$