Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2006 C №17
$A$, $B$, $C$ цэгүүд бөмбөрцөг дээр байрлах ба төвөөс $(ABC)$ хавтгай хүртэлх зай $24$, $AB=12$, $BC=16$, $AC=20$ бол бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг ол.
A. $4072\pi$
B. $2704\pi$
C. $2074\pi$
D. $100\pi$
E. $(12+16+20)\pi/24$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 22.40%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A$, $B$, $C$ цэгүүдийг багтаасан бөмбөрцгийн төв нь $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг дайрсан $(ABC)$ хавтгайд перпендикуляр шулуун дээр байрладаг.
Учир нь багтаасан бөмбөрцгийг төвийг $O$ ба $O$-оос $(ABC)$-д буулгасан перпендикулярын суурийг $O^\prime$, $OO^\prime=d$ гэвэл $$OA^2=OB^2=OC^2\Leftrightarrow OA^2-d^2=OB^2-d^2=OC^2-d^2$$
тул $O^\prime A^2=O^\prime B^2=O^\prime C^2$ тул $O^\prime$ нь багтаасан тойргийн төв болно.
$R$ радиустай бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь $4\pi R^2$ байдаг.
$R$ радиустай бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь $4\pi R^2$ байдаг.
Бодолт: $12^2+16^2=20^2$ тул $ABC$ нь $\measuredangle B=90^\circ$ байх тэгш өнцөгт гурвалжин байна. Тэгш өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус нь гипотенузын хагастай тэнцүү тул
$$R_{\triangle ABC}=\dfrac{20}{2}=10$$
ба бөмбөрцгийн радиус
$$R=\sqrt{10^2+24^2}=26$$
байна. Иймд бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай
$$V=4\pi R^2=2704\pi.$$