Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн ирмэгийн урт $a$, $M$ цэг $DD_1$ ирмэг дээр орших бөгөөд $D_1M=\dfrac14a$ бол

$AB_1M$ гурвалжны периметр $$p=\dfrac{a}{2}(\fbox{a}+\fbox{b}\sqrt{2}+\sqrt{\fbox{cd}}),$$
$B_1$ ба $M$ цэгийг дайрсан $C_1D$ шулуунуудтай параллель хавтгайн кубийг огтлох хэсгийн талбай $$S=\dfrac{\fbox{e}\sqrt{\fbox{fg}}}{32}a^2$$

байна.

abcd = 5433

efg = 541

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 20.83%

Заавар:

Бодолт:

Пифагорын теоремоор \begin{align*} AM^2&=a^2+\left(\dfrac34a\right)^2=\dfrac{25}{16}a^2\\ AB_1^2&=B_1D_1^2=a^2+a^2=2a^2\\BM_1^2&=B_1D_1^2+D_1M^2=2a^2+\left(\dfrac14a\right)^2=\dfrac{33}{16}a^2 \end{align*} тул $$p=\sqrt{\dfrac{25}{16}a^2}+\sqrt{2a^2}+\sqrt{\dfrac{33}{16}a^2}=$$ $$=\dfrac{a}{4}(5+4\sqrt2+\sqrt{33})$$
Зургаас харахад бидний талбайг нь олох дүрс нь $AB_1NM$ адил хажуут трапец байна. Иймд өндөр нь \begin{align*} h&=\sqrt{AM^2-\left(\dfrac{AB_1-MN}{2}\right)^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{25}{16}a^2-\left(\dfrac{3\sqrt{2}a}{8}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{41}{32}}a \end{align*} тул талбай нь $$S=\dfrac12(AB_1+MN)h=\dfrac{5\sqrt{41}}{32}a$$