Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $a_n=n^2$, $b_n=x^{n-1}$ гээд Абелийн хувиргалтын томьёо ашиглавал $B_k=\dfrac{x^k-1}{x-1}$ тул \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2\cdot x^{k-1}&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\big(k^2-(k+1)^2\big)\cdot \dfrac{x^k-1}{x-1}+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot (x^k-1)+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k + \dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k + \dfrac{n^2-1}{x-1}+n^2\cdot\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ &=-\dfrac{1}{x-1}\sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k +\dfrac{n^2x^n-1}{x-1}\\ \end{align} болно. Одоо $a_n=2n+1$, $b_n=x^n$ гэвэл $a_k-a_{k+1}=-2$, $B_k=\dfrac{x(x^k-1)}{x-1}$ тул \begin{align} \sum\limits_{k=1}^{n-1} (2k+1)\cdot x^k &=\sum_{k=1}^{n-2}(-2)\cdot\dfrac{x(x^k-1)}{x-1}+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\sum_{k=1}^{n-2}(x^k-1)+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\Big(\Big(\sum_{k=1}^{n-2}x^k\Big)-n+2\Big)+(2n-1)\cdot\dfrac{x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{-2x}{x-1}\left(\dfrac{x(x^{n-2}-1)}{x-1}-n+2\right)+\dfrac{(2n-1)\cdot x(x^{n-1}-1)}{x-1}\\ &=\dfrac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n-x^2+3x}{(x-1)^2} \end{align} тул \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2\cdot x^{k-1}&=-\dfrac{(2n-1)x^{n+1}-(2n+1)x^n-x^2+3x}{(x-1)^3}+\dfrac{n^2x^n-1}{x-1}\\ &=\dfrac{n^2x^{n+2}-(2n^2+2n-1)x^{n+1}+(n+1)^2x^n-x-1}{(x-1)^3} \end{align*} байна.