Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №19762
$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$ нийлбэрийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\dfrac{1}{k^2-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}\right)$
Бодолт: \begin{align*}
\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\
&=\dfrac12\left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{3n^2-n-2}{4n(n+1)}
\end{align*}