Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №19761
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ нийлбэрийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $a_n=\dfrac{1}{2n-1}$ гэвэл $\Delta a_k=\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k-1}=-\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)}$
Бодолт: \begin{align*}
\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}&=-\dfrac12\sum_{k=1}^n\Delta\dfrac{1}{2k-1}\\
&=-\dfrac12\left(\dfrac{1}{2(n+1)-1}-\dfrac{1}{2\cdot 1-1}\right)\\
&=\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{n}{2n+1}
\end{align*}