Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тэгш хэмт олон гишүүнт
$x+y+z=xy+yz+zx=2\sqrt2+1$, $xyz=1$ бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.
- $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$
- $x^2+y^2+z^2$
- $x^3+y^3+z^3$
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тэгш хэмт олон гишүүнтийн үндсэн теорем ёсоор тэгш хэмтэй $f(x,y,z)$ олон гишүүнт бүрийг $x+y+z$, $xy+yz+zx$, $xyz$ олон гишүүнтүүдээр илэрхийлж болдог.
Бодолт:
- $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=\dfrac{2\sqrt2+1}{1}=2\sqrt2+1$$
- $$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=$$ $$=(2\sqrt2+1)^2-2(2\sqrt2+1)=7$$
- $$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$$ тул $$x^3+y^3+z^3=(2\sqrt2+1)\{7-(2\sqrt2+1)\}+3=$$ $$2(2\sqrt2+1)(3-\sqrt2)+3=10\sqrt2+1$$