Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Абелийн хувиргалт
$S_n=1\cdot5^0+2\cdot5^1+3\cdot5^2+\cdots+n\cdot5^{n-1}$ нийлбэрийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Абелийн хувиргалтын томьёо ашигла.
Бодолт: $a_n=n, b_n=2^{n-1}$ гэвэл $B_k=\sum\limits_{i=1}^kb_i=\dfrac{5^k-1}{4}$ байна. Иймд Абелийн хувиргалтаар $n\ge 2$ үед
$$\begin{aligned} S_n&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\cdot B_k+a_n\cdot B_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)\cdot\dfrac{5^k-1}{4}+n\cdot\dfrac{5^n-1}{4}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{n-1}5^k+\dfrac{n\cdot(5^n-1)}{4}=\dfrac{n-1}{4}-\dfrac{(5^n-5)}{16}+\dfrac{n\cdot(5^n-1)}{4}\\ &=\dfrac{(4n-1)\cdot 5^n+1}{16} \end{aligned}$$
болно.
$$\begin{aligned} S_n&=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\cdot B_k+a_n\cdot B_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)\cdot\dfrac{5^k-1}{4}+n\cdot\dfrac{5^n-1}{4}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{n-1}5^k+\dfrac{n\cdot(5^n-1)}{4}=\dfrac{n-1}{4}-\dfrac{(5^n-5)}{16}+\dfrac{n\cdot(5^n-1)}{4}\\ &=\dfrac{(4n-1)\cdot 5^n+1}{16} \end{aligned}$$
болно.