Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ сорилго 2021 №1, Бодлого №34
$\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}$ рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад $x^5$-ийн өмнөх коэффициент $\dfrac{m}{n}$ ба $m$, $n$ харилцан анхны натурал тоонууд байв. $n-m$ тоог ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 15.38%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\dfrac{3+x}{x^2-4x+3}=\dfrac{1+x}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-3}$ байх $A$, $B$ тоонуудыг олж бод.
Бодолт: \begin{align*}
\dfrac{1+x}{x^2-3x+2}&=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-3}\\
&=\dfrac{A(x-3)}{(x-1)(x-3)}+\dfrac{B(x-1)}{(x-1)(x-3)}\\
&=\dfrac{(A+B)x-3A-B}{x^2-4x+3}
\end{align*}
тул $A+B=1$, $-3A-B=1$ болно. Эдгээрийг нэмбэл $-2A=2\Rightarrow A=-1$, $B=2$ болно. Иймд
\begin{align*}
\dfrac{1+x}{x^2-3x+2}&=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{x}{3}}\\
&=(1+x+x^2+x^3+\cdots)-\dfrac23\cdot\left(1+\frac13x+\frac1{3^2}x^2+\frac{1}{3^3}x^3+\dots\right)
\end{align*}
Иймд $x^n$ коэффициент нь $1-\dfrac{2}{3^{n+1}}=\dfrac{3^{n+1}-2}{3^{n+1}}=\dfrac{m}{n}$ болно. Иймд зөрөө нь $2$ байна.