Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ММК-2, 10.2
$z_i\in\mathbb C$, $i=\overline{1,n}$ бол $$\dfrac14\sum_{k=1}^n|z_k|\le\Big|\sum_{i\in I}z_i\Big|$$ байх $I\subseteq\{1,2,\dots,n\}$ дэд олонлог олдоно гэж үзүүл.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $z_k=x_k+iy_k$ гэвэл гурвалжны тэнцэтгэл бишээр $|z_k|\le |x_k|+|y_k|$ ба $|x_k|, |y_k|\le |z_k|$ байх нь ойлгомжтой.
Бодолт: $$\sum |z_k|\le \sum |x_k|+\sum |y_k|=\sum_{x_k\ge 0}|x_k|+\sum_{x_k<0}|x_k|+\sum_{y_k\ge 0}|y_k|+\sum_{y_k<0}|y_k|$$
$\sum\limits_{x_k\ge 0}|x_k|$, $\sum\limits_{x_k<0}|x_k|$, $\sum\limits_{y_k\ge 0}|y_k|$, $\sum\limits_{y_k<0}|y_k|$ тоонуудын хамгийн их нь $\sum\limits_{x_k\ge 0}|x_k|$ гэе. Тэгвэл
$$\sum_{x_k\ge 0}|x_k|=\Big|\sum_{x_k\ge 0} x_k\Big|\le \Big|\sum_{x_k\ge 0} z_k\Big|$$
$$\sum |z_k|\le 4\sum\limits_{x_k\ge 0}|x_k|=4\Big|\sum\limits_{x_k\ge0} x_k\Big|\le 4\Big|\sum\limits_{x_k\ge0} z_k\Big|$$
байна. Иймд $I=\{k\mid x_k\ge 0\}$ үед
$$\dfrac{1}{4}\sum|z_k|\le\Big|\sum\limits_{i\in I} z_i\Big|$$
болж батлах зүйл батлагдав.