Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ММК-2, 10.2
$n\in\mathbb N$, $v_i$, $|v_i|\le 1$, $i=\overline{1,n}$ хавтгайн векторууд бол $$\exists\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\in\{+1,-1\}:\Big|\sum \varepsilon_i v_i\Big|\le\sqrt{2}$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $n$-ээр индукцлэж батал.
Бодолт: $n=1$ үед илэрхий. $n=2$ хоёр үед $|v_1^2-v_2^2|\le |v_1^2|+|v_2^2|\le 2$ тул
$$|v_1-v_2|\le\sqrt{2}\lor |v_1+v_2|\le\sqrt{2}$$
байна. $n\ge 3$ үед хоорондох өнцөг нь $\pm v_1,\pm v_2,\pm v_3$ тоонуудын аль нэг хоёрын хоорондох өнцөг $60^\circ$-ээс хэтрэхгүй байна. Эдгээр нь $v_1$, $v_2$ гэхэд явцуурахүй. Энэ тохиолдолд $|v_1-v_2|\le 1$ тул $v_1-v_2,v_3,\dots,v_n$ тоонуудын хувьд индукцээр $\varepsilon_i,i=\overline{1,n-1}$ тоонууд олдох ба
$$|\varepsilon_1v_1-\varepsilon_1v_2+\varepsilon_2v_3+\dots+\varepsilon_{n-1}v_n|\le\sqrt{2}$$
байна.