Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\dfrac{|a+b|}{2}$, $\dfrac{|b+c|}{2}$, $\dfrac{|c+a|}{2}$ тоонуудад Кошийн тэнцэтгэл биш бич.

Бодолт: $$1=|a|+|b|+|c|=\dfrac{|a|+|b|}{2}+\dfrac{|b|+|c|}{2}+\dfrac{|c|+|a|}{2}\ge\dfrac{|a+b|}{2}+\dfrac{|b+c|}{2}+\dfrac{|c+a|}{2}$$ ба Кошийн тэнцэтгэл бишээр $$\dfrac{|a+b|}{2}+\dfrac{|b+c|}{2}+\dfrac{|c+a|}{2}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{|a+b|}{2}\cdot\dfrac{|b+c|}{2}\cdot\dfrac{|c+a|}{2}}$$ тул $$\dfrac{2}{3}\ge\sqrt[3]{|a+b|\cdot|b+c|\cdot|c+a|}\Leftrightarrow |(a+b)(b+c)(c+a)|\le\dfrac{8}{27}$$ болно. Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөл нь $$|a+b|=|b+a|=|c+a|=|a|+|b|=|b|+|c|=|c|+|a|=\dfrac{2}{3}$$ боловч ялгаатай тоонуудын хувьд биелэх боломжгүй юм. Учир нь $|a+b|=|a|+|b|$ нөхцөл зөвхөн $a$, $b$ тоонууд ижил аргументтай үед л биелэх ба бүгд ижил аргументтай үед $$|a|+|b|=|b|+|c|=|c|+|a|=\dfrac{2}{3}$$ нөхцөлөөс $$|a|=|b|=|c|=\dfrac13$$ гэж гарах тул өгөгдсөн тоонууд тэнцүү болоход хүрнэ. Иймд тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрэх боломжгүй буюу $$|(a+b)(b+c)(c+a)|<\dfrac{8}{27}$$ болж батлагдав.