Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ММК-2, 10.2
$|z_1|=\dots=|z_n|=1$ ба $\sum\limits_{1}^n z_i=0$ бол $\forall z\in\mathbb C$-ийн хувьд $$\sum|z-z_i|^2=n(|z|^2+1)$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $|z|^2=z\cdot\overline{z}$ болохыг ашигла.
Бодолт: \begin{align*}
\sum|z-z_i|^2&=\sum (z-z_i)(\overline{z}-\overline{z_i})\\
&=\sum(z\overline{z}-z\overline{z_i}-z_i\overline{z}+z_i\overline{z_i})\\
&=\sum z\overline{z}-\big(\sum \overline{z_i}\big) z-\big(\sum z_i\big) \overline{z}+\sum z_i\overline{z_i}\\
&=\sum |z|^2-\big(\overline{\sum z_i}\big) z-\big(\sum z_i\big) \overline{z}+\sum |z_i|^2\\
&=n\cdot |z|^2- \overline{0}\cdot z- 0\cdot \overline{z}+n\\
&=n(|z|^2+1)
\end{align*}