Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №15260
Нэг аймагт МАН-ын нэр дэвшигч $52\%$-ийн санал, АН-ын нэр дэвшигч $48\%$-ийн санал авдаг. Хоёр дахь аймагт МАН-ын нэр дэвшигч $47\%$-ийн санал, АН-ын нэр дэвшигч $53\%$-ийн санал авдаг. Аймаг тус бүрээс 100, 100 хүнээс судалгаа авав. Судалгаагаар хоёр дахь аймгийн АН-ы нэр дэвшигч, эхний аймгийн АН-ы нэр дэвшигчээс их санал авсан байх магадлалыг ол. Хоёр нэр дэвшигчийн судалгаагаар авсан онооны зөрөө нь хэвийн тархалттай гэж үз.
A. $0.40$
B. $0.65$
C. $0.74$
D. $0.80$
E. $0.87$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 10.20%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $100\cdot0.52=52$, $100\cdot0.48$, $100\cdot 0.47=47$, $100\cdot 53=53$ нь бүгд 10-аас их буюу хангалттай их байна.
$p_1$ нь эхний аймагт авсан саналын тоо, $p_2$ нь хоёр дахь аймагт авсан саналын тоо бол $EP_1=48$, $EP_2=53$ байна. Иймд $E(P_1-P_2)=48-53=-6$ байна. $P_1-P_2$ нь хэвийн тархалттай гэж үзээд цааш бод.
$p_1$ нь эхний аймагт авсан саналын тоо, $p_2$ нь хоёр дахь аймагт авсан саналын тоо бол $EP_1=48$, $EP_2=53$ байна. Иймд $E(P_1-P_2)=48-53=-6$ байна. $P_1-P_2$ нь хэвийн тархалттай гэж үзээд цааш бод.
Бодолт: \begin{align*}
Var(P_1-P_2)&=Var(P_1)+Var(-P_2)=Var(P_1)+Var(P_2)\\
&=100\cdot 0.48\cdot(1-0.48)+100\cdot 0.53\cdot(1-0.53)\\
&=24.96+24.91=49.87
\end{align*}
тул $\sigma(P_1-P_2)=\sqrt{49.87}\approx7.06$ байна. $N(-6,7.06^2)$ хэвийн тархалт ашиглан $P=P_1-P_2<0$ байх магадлалыг олъё.
$$Z=\dfrac{P-(-6)}{7.06}$$
стандарт хэвийн тархалттай тул
$$P(p < 0)=P\left(z < \dfrac{6}{7.06}\right)\approx P(z<0.85)=0.5+\Phi(0.85)$$
байна. Лапласын функцийн хүснэгт ашиглаж бодвол $\Phi(0.85)=0.3023$ тул $P(p<0)=0.5+0.3023\approx0.80$ байна.