Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Рационал бутархайн интеграл
$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt[3]{x-8}}{x} dx=\fbox{a}\sqrt[3]{x-8}-\fbox{b}\ln|\sqrt[3]{x-8}+2|+\ln\big((\sqrt[3]{x-8})^3-\fbox{c}\sqrt[3]{x-8}+\fbox{d}\big)-\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\sqrt[3]{x-8}+1}{\sqrt3}+C$
a = 3
b = 2
cd = 24
e = 6
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 4.02%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $t=\sqrt[3]{x-8}$, $x=t^3+8$ орлуулга ашигла.
Бодолт: \begin{align*}
\int\dfrac{\sqrt[3]{x-8}}{x} dx&=\left[\begin{array}{c} t=\sqrt[3]{x-8}\\ x=t^3+8\\ dx=3t^2dt\end{array}\right]\\
&=\int\left(\dfrac{t}{t^3+8}\right)3t^2dt=\int\dfrac{3t^3dt}{t^3+8}=\int\left(3-\dfrac{24}{t^3+8}\right)dt\\
&=3t-\int\dfrac{2dt}{t+2}+\int\dfrac{2t-8}{t^2-2t+4}dt\\
&=3t-2\ln|t+2|+\int\dfrac{2(t-1)-6}{(t-1)^2+3}dt\\
&=3t-2\ln|t+2|+\int\dfrac{d[(t-1)^2+3]}{(t-1)^2+3}-\int\dfrac{6dt}{(t-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\
&=3t-2\ln|t+2|+\ln|(t-1)^2+3|-\dfrac{6}{\sqrt3}\arctg\dfrac{t-1}{\sqrt3}+C\\
&=3t-2\ln|t+2|+\ln(t^2-2t+4)-\dfrac{6}{\sqrt3}\arctg\dfrac{t-1}{\sqrt3}+C\\
&=3\sqrt[3]{x-8}-2\ln|\sqrt[3]{x-8}+2|+\ln\big((\sqrt[3]{x-8})^3-2\sqrt[3]{x-8}+4\big)-\dfrac{6}{\sqrt3}\arctg\dfrac{\sqrt[3]{x-8}+1}{\sqrt3}+C
\end{align*}