Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №14879
$\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}$ рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад $x^4$-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $3\dfrac{27}{32}$
B. $3$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{25}{8}$
E. $\dfrac{59}{16}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 7.14%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}=\dfrac{3+x}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}$ байх $A$, $B$ тоонуудыг олж бод.
Бодолт: \begin{align*}
\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}&=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}\\
&=\dfrac{A(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\dfrac{B(x-1)}{(x-1)(x-2)}\\
&=\dfrac{(A+B)x-2A-B}{x^2-3x+2}
\end{align*}
тул $A+B=1$, $-2A-B=3$ буюу $A=-4$, $B=5$ байна. Иймд
\begin{align*}
\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}&=\dfrac{-4}{x-1}+\dfrac{5}{x-2}=\dfrac{4}{1-x}-\dfrac{\frac{5}{2}}{1-\frac{x}{2}}\\
&=4(1+x+x^2+x^3+\cdots)-\dfrac{5}{2}\left(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\cdots\right)
\end{align*}
байна. Задаргааны $x^3$-ийн өмнөх коэффициент нь $4-\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{123}{32}=3\dfrac{27}{32}$ байна.