Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Сайн гараа 11.1
$P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2}$ ба $P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5}$ байх бүхэл коэффициенттэй $P(x)$ олон гишүүнт олдох уу?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $Q(x)=P(x+1)-x-1$ олон гишүүнтийн нэг язгуур нь $\sqrt[3]{2}$ болохыг ашигла.
Бодолт: Т. Базарын ирүүлсэн бодолт.
Эсрэгээс нь бодлогын нөхцөлийг хангах $P(x)$ гишүүнт олддог гээд зааварт өгөгдсөн $Q(x)$ олон гишүүнтийг авч үзье. Безугийн теоремоор $Q(x)$ нь $x-\sqrt[3]{2}$-д хуваагдах бөгөөд $x^3-2$ нь $\mathbb Q[x]$ дээр үл задрах тул $Q(x)=(x^3-2)S(x)$ байна. Нөгөө талаас $P(x)=Q(x-1)+x$ тул $$P(1+\sqrt5)=Q(\sqrt5)+1+\sqrt5=2+3\sqrt5$$ байна. Иймд $Q(\sqrt5)=1+2\sqrt5$ болов. Нөгөө талаас $Q(\sqrt5)=(5\sqrt5-2)S(\sqrt5)$ тул $$(5\sqrt5-2)(a+b\sqrt5)=1+2\sqrt5$$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонууд оршин байх ёстой. Эндээс $$\left\{\begin{array}{l}-2a+25b=1\\ \phantom{-}5a-\phantom{5}2b=2\end{array}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{52}{121},\ b=\dfrac{9}{121}$$ болж зөрчил үүсэв. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $P$ олон гишүүнт олдохгүй.
Эсрэгээс нь бодлогын нөхцөлийг хангах $P(x)$ гишүүнт олддог гээд зааварт өгөгдсөн $Q(x)$ олон гишүүнтийг авч үзье. Безугийн теоремоор $Q(x)$ нь $x-\sqrt[3]{2}$-д хуваагдах бөгөөд $x^3-2$ нь $\mathbb Q[x]$ дээр үл задрах тул $Q(x)=(x^3-2)S(x)$ байна. Нөгөө талаас $P(x)=Q(x-1)+x$ тул $$P(1+\sqrt5)=Q(\sqrt5)+1+\sqrt5=2+3\sqrt5$$ байна. Иймд $Q(\sqrt5)=1+2\sqrt5$ болов. Нөгөө талаас $Q(\sqrt5)=(5\sqrt5-2)S(\sqrt5)$ тул $$(5\sqrt5-2)(a+b\sqrt5)=1+2\sqrt5$$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонууд оршин байх ёстой. Эндээс $$\left\{\begin{array}{l}-2a+25b=1\\ \phantom{-}5a-\phantom{5}2b=2\end{array}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{52}{121},\ b=\dfrac{9}{121}$$ болж зөрчил үүсэв. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $P$ олон гишүүнт олдохгүй.