Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №14391
Нэг аймагт МАН-ын нэр дэвшигч $52\%$-ийн санал, АН-ын нэр дэвшигч $48\%$-ийн санал авдаг. Хоёр дахь аймагт МАН-ын нэр дэвшигч $47\%$-ийн санал, АН-ын нэр дэвшигч $53\%$-ийн санал авдаг. Аймаг тус бүрээс 100, 100 хүнээс судалгаа авав. Судалгаагаар хоёр дахь аймгийн МАН-ы нэр дэвшигч, эхний аймгийн МАН-ы нэр дэвшигчээс их санал авсан байх магадлалыг ол. Хоёр нэр дэвшигчийн судалгаагаар авсан онооны зөрөө нь хэвийн тархалттай гэж үз.
A. $0.04$
B. $0.15$
C. $0.24$
D. $0.71$
E. $0.76$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 10.42%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $100\cdot0.52=52$, $100\cdot0.48$, $100\cdot 0.47=47$, $100\cdot 53=53$ нь бүгд 10-аас их буюу хангалттай их байна.
$p_1$ нь эхний аймагт авсан саналын тоо, $p_2$ нь хоёр дахь аймагт авсан саналын тоо бол $EP_1=52$, $EP_2=47$ байна. Иймд $E(P_1-P_2)=52-47=5$ байна. $P_1-P_2$ нь хэвийн тархалттай гэж үзээд цааш бод.
$p_1$ нь эхний аймагт авсан саналын тоо, $p_2$ нь хоёр дахь аймагт авсан саналын тоо бол $EP_1=52$, $EP_2=47$ байна. Иймд $E(P_1-P_2)=52-47=5$ байна. $P_1-P_2$ нь хэвийн тархалттай гэж үзээд цааш бод.
Бодолт: \begin{align*}
Var(P_1-P_2)&=Var(P_1)+Var(-P_2)=Var(P_1)+Var(P_2)\\
&=100\cdot 0.52\cdot(1-0.52)+100\cdot 0.47\cdot(1-0.47)\\
&=24.96+24.91=49.87
\end{align*}
тул $\sigma(P_1-P_2)=\sqrt{49.87}\approx7.06$ байна. $N(5,7.06^2)$ хэвийн тархалт ашиглан $P=P_1-P_2<0$ байх магадлалыг олъё.
$$Z=\dfrac{p-5}{7.06}$$
стандарт хэвийн тархалттай тул
$$P(p < 0)=P\left(z < \dfrac{-5}{7.06}\right)=P(z<-0.7082)=P(z>0.7082)=0.5-\Phi(0.7082)$$
байна. Лапласын функцийн хүснэгт ашиглаж бодвол $\Phi(0.7082)\approx\Phi(0.71)=0.2611$ тул $P(p<0)=0.5-0.2611\approx0.24$ байна.