Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 B №33
$3+\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{11}{16}+\dots+\dfrac{2n+3}{2^n}+\cdots$ нийлбэрийг ол.
A. $7$
B. $10$
C. $12$
D. $4$
E. $7\dfrac34$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 16.99%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A=3+\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{11}{16}+\dots+\dfrac{2n+3}{2^n}+\cdots$ гээд $2A-A$ илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт: $A=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}$ тул
\begin{align*}
2A-A&=2\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^{n-1}}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}\\
&=6+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^{n-1}}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}\\
&=6+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(n-1)+5}{2^{n-1}}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}\\
&=6+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+5}{2^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2n+3}{2^n}\\
&=6+\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2}{2^n}=6+\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}}=10
\end{align*}
тул $A=10$ байна.