Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2010 A №21
$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\cdot\sqrt{2x^2+5x+3}-16$ тэгшитгэлийг бодъё. Тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь $x\ge-1$. $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t\ge0$ гэж орлуулбал анхны тэгшитгэл $t^2-t-\fbox{ab}=0$ тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс $t_1=\fbox{c}$, $t_2=-\fbox{d}$ гэж гарах ба $t_2< 0$ тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}$ гэж гарна.
ab = 20
cd = 54
e = 3
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 11.67%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)$ болохыг анхаар.
Бодолт: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t\ge0$ гэж орлуулбал $t^2=2x+3+2\cdot\sqrt{(2x+3)(x+1)} +x+1\Rightarrow $ $2\cdot\sqrt{(2x+3)(x+1)}=t^2-((2x+3)+(x+1))=t^2-t$ болно. Анхны тэгшитгэл $0=((2x+3)+(x+1)+ 32\cdot\sqrt{2x^2+5x+3})-(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1})-19=t^2-t-20$ тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс $t_1=5$, $t_2=-4$ гэж гарах ба $t_2< 0$ тул нөхцөлд тохирохгүй. Орлуулгаа буцааж бодвол $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\Rightarrow 2\cdot\sqrt{(2x+3)(x+1)}=25-3x>0\Rightarrow x^2-146x+429=0 $ болно. Тэгшитгэлийг бодвол $x=3\, ,\, x=143$ гэж гарна. $25-3>0$ учир $x=3$ гэсэн шийд гарна.