Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2010 B №19
$y=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ функцийн график, $x=-\sqrt3$, $x=0$ шулуунууд ба абсцисс тэнхлэгээр хашигдсан дүрсийг $Ox$ тэнхлэг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүн $\dfrac{7\pi^2}{\fbox{ab}}$ байна. $x=0$ цэгийг дарсан $Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр $\alpha$ хавтгай биетийн эзлэхүүнийг $\fbox{c}:\fbox{d}$ ($c>d$) харьцаагаар хуваана. Энэ биетийн эзлэхүүнийг $2:5$ харьцаатай хуваадаг, $\alpha$-тай параллель хавтгайн нэг нь $x=\dfrac{\fbox{e}}{\sqrt{\fbox{f}}}$ цэгээр дайрна.
ab = 12
cd = 43
ef = 13
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 15.80%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн олох томьёо ашигла. Мөн
$$\int\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctg x+C$$
болохыг ашиглаарай. Энд $\arctg$ нь тангес функцийн урвуу функц.
Бодолт: $$V=\pi\int_{-\sqrt3}^1 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2\,\mathrm{d}x=\pi\int_{-\sqrt3}^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\pi\big(\arctg x\Big|_{-\sqrt3}^1\big)=\pi\left(\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=\dfrac{7\pi^2}{12}$$ байна.
$x=1$ цэгийг дайрсан $Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр $\alpha$ хавтгай ба $x=0$ цэгийг дайрсан $Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайн хоорондох хэсгийн эзлэхүүн $$V_1=\pi\int\limits_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\pi\big(\arctg x\Big|_0^1\big)=\dfrac{\pi^2}{4}$$ тул $$(V-V_1):V_1=\left(\dfrac{7\pi^2}{12}-\dfrac{\pi^2}{4}\right):\dfrac{\pi^2}{4}=4:3$$ байна.
Энэ биетийн эзлэхүүнийг $2:5$ харьцаатай хуваадаг, $\alpha$-тай параллел хавтгайг $x=a$ гэвэл $$\dfrac{2V}{7}=\dfrac{\pi^2}{6}=\pi\int_{-\sqrt3}^a \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2\,\mathrm{d}x=\pi\Big(\arctg x\Big|_{-\sqrt3}^a\Big)=\pi\cdot\left(\arctg a+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow a=\tg\dfrac{-\pi}{6}=-\dfrac{1}{\sqrt3}$$
$x=1$ цэгийг дайрсан $Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр $\alpha$ хавтгай ба $x=0$ цэгийг дайрсан $Ox$ тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайн хоорондох хэсгийн эзлэхүүн $$V_1=\pi\int\limits_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\pi\big(\arctg x\Big|_0^1\big)=\dfrac{\pi^2}{4}$$ тул $$(V-V_1):V_1=\left(\dfrac{7\pi^2}{12}-\dfrac{\pi^2}{4}\right):\dfrac{\pi^2}{4}=4:3$$ байна.
Энэ биетийн эзлэхүүнийг $2:5$ харьцаатай хуваадаг, $\alpha$-тай параллел хавтгайг $x=a$ гэвэл $$\dfrac{2V}{7}=\dfrac{\pi^2}{6}=\pi\int_{-\sqrt3}^a \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2\,\mathrm{d}x=\pi\Big(\arctg x\Big|_{-\sqrt3}^a\Big)=\pi\cdot\left(\arctg a+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow a=\tg\dfrac{-\pi}{6}=-\dfrac{1}{\sqrt3}$$