Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2010 B №12
$f$ функцийг бүх бодит тооны хувьд $f(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}e^{2x+t}\,\mathrm{d}t$ гэж тодорхойлъё. Тэгвэл $f^\prime(1)=?$
A. $4e^3-2e^2$
B. $e^2$
C. $e^3-e$
D. $2e^2$
E. $3e^2-e$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 33.70%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$f(x)=e^{2x}\int_0^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t=e^{2x+t}\bigg|_0^{x^2}=e^{x^2+2x}-e^{2x}$$
Бодолт: $e^{2x+t}=e^{2x}\cdot e^t$ ба $e^{2x}$ нь $t$-ээс хамаарахгүй учир
$$f(x)=\int_0^{x^2}e^{2x+t}\,\mathrm{d}t=e^{2x}\int_0^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t=e^{2x}\cdot e^t\bigg|_0^{x^2}=e^{2x}\cdot(e^{x^2}-1)=e^{x^2+2x}-e^{2x}$$
байна. Иймд
$$f^\prime(x)=(2x+2)\cdot e^{x^2+2x}-2e^{2x}\Rightarrow f^\prime(1)=4e^3-2e^2$$
байна.