Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2017 D №40
Бүх ирмэг нь 4 урттай байх $ABCDE$ зөв дөрвөн өнцөгт пирамид өгөгджээ.
- Суурийн диагональ $AC=\fbox{a}\sqrt2$ байна.
- Диагональ огтлолын талбай $S_{ACE}=\fbox{b}$ байна.
- Пирамидын эзлэхүүн $V_{ABCDE}=\dfrac{32\sqrt2}{\fbox{c}}$ байна.
- Пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиус $r=\sqrt{\fbox{d}}-\sqrt2$ байна.
- Энэ пирамидад хамгийн их эзлэхүүнтэй, 4 орой нь хажуу ирмэг дээр, 4 орой нь суурь дээр орших тэгш өнцөгт параллелепипед багтаавал эзлэхүүн нь $V_{\text{пар}}=\dfrac{128\sqrt2}{\fbox{ef}}$ байна.
a = 4
b = 8
c = 3
d = 6
ef = 27
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 14.48%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
- Квадратын талын урт $a$ бол диагоналын урт нь $\sqrt2a$ байдаг.
- Диагонал огтлол нь 4 катеттай адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин байна.
- $S$ суурьтай, $h$ өндөртэй пирамидын эзлэхүүн $V=\dfrac13Sh$.
- Пирамидын эзлэхүүн нь $V=\dfrac13 S_{бүтэн}\cdot r$ байна.
- Багтсан тэгш өнцөг параллелепипедийн эзлэхүүнийг түүний өндрөөр илэрхийл.
Бодолт:
- Суурийн талын урт 4 тул диагоналын урт нь $4\sqrt2$ байна.
- 4 катеттай адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин тул талбай нь $\dfrac{4\cdot 4}{2}=8$ байна.
- Пирамидын өндөр нь диагональ огтлолын өндөртэй тэнцүү тул $h=\dfrac{2\cdot 8}{4\sqrt2}=2\sqrt2$ байна. Суурийн талбай нь $4\cdot 4=16$ тул эзлэхүүн нь $\dfrac{1}{3}\cdot 16\cdot2\sqrt2=\dfrac{32\sqrt2}{3}$ байна.
- Пирамидын хажуу талсууд нь 4 талтай зөв гурвалжнууд тул бүтэн гадаргуугийн талбай нь $16+4\cdot\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=16+16\sqrt3$ байна. Иймд багтсан бөмбөрцгийн радиус нь $$r=\dfrac{3V}{S_{бүтэн}}=\dfrac{3\cdot\dfrac{32\sqrt2}{3}}{16+16\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt2}{1+\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt2(\sqrt3-1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\sqrt6-\sqrt2$$
- Оройг дайрсан суурийн талбай параллель хөндлөн огтлолын багтсан параллелепипедийг огтолсон хэсгийг сонирхоё. Параллелепипедийн суурийн талыг $a$ өндрийг $h$ гэвэл $$\dfrac{2\sqrt2-h}{2\sqrt2}=\dfrac{a}{4}\Rightarrow a=4-\sqrt2h$$ Иймд $V(h)=(4-\sqrt2h)^2h$