Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2016 A №36
Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын дээд суурийн тал 3см, доод суурийн тал 7см урттай ба хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэдэг бол уг огтлогдсон пирамидын эзлэхүүнийг олоорой.
A. $\dfrac{79}{\sqrt3}$
B. $\dfrac{77}{\sqrt3}$
C. $27\sqrt3$
D. $9\sqrt3$
E. $18\sqrt3$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 19.51%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Огтлогдсон пирамидын эзлэхүүн:
$$V=\dfrac13\cdot H\cdot(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны талбай: $$S=\dfrac{\sqrt3 a^2}{4}$$
$a$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай: $$d=\dfrac{\frac{a}{2}}{\cos30^\circ}=\dfrac{\sqrt3a}{3}$$
Бодолт: 
$7$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $AG=\dfrac{\sqrt3\cdot 7}{3}=\dfrac{7\sqrt3}{3}$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG=\dfrac{7\sqrt3}{3}\cdot\tg60^\circ=\dfrac{7\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=7$$
$3$ талтай зөв гурвалжны оройгоос төв хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt3\cdot 3}{3}=\sqrt3$ ба энэ гурвалжнаар сууриа хийсэн хажуу ирмэг нь суурьтай $60^\circ$ өнцөг үүсгэх пирамидын өндөр нь
$$HG_1=\sqrt3\cdot\tg60^\circ=\sqrt3\cdot\sqrt3=3$$
Иймд огтлогдсон пирамидын өндөр нь $HH_1=7-3=4$ байна.
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 3^2}{4}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 7^2}{4}=\dfrac{49\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot4\cdot\left(\dfrac{9\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{49\sqrt3}{4}}+\dfrac{49\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{79}{\sqrt3}$$
Сууриудын талбай нь $S_1=\dfrac{\sqrt3\cdot 3^2}{4}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$, $S_2=\dfrac{\sqrt3\cdot 7^2}{4}=\dfrac{49\sqrt3}{4}$ тул эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13\cdot4\cdot\left(\dfrac{9\sqrt3}{4}+\sqrt{\dfrac{9\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{49\sqrt3}{4}}+\dfrac{49\sqrt3}{4}\right)=\dfrac{79}{\sqrt3}$$