Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2016 D №38
$\sin9x\cdot\cos10x=\sin7x\cdot\cos8x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
a = 2
bc = 19
de = 15
fg = 17
h = 2
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 24.58%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$
ба $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ тул
$$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\beta-\alpha)]$$
байна. Мөн
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$
байдаг.
Бодолт: Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$$\dfrac{1}{2}[\sin(9x+10x)-\sin(10x-9x)]=\dfrac{1}{2}[\sin(7x+8x)x-\sin(8x-7x)]$$ буюу $\sin19x-\sin15x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $$2\cdot\cos\dfrac{19x+15x}{2}\cdot\sin\dfrac{19x-15x}{2}=0$$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos17x=0\\ \sin2x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{17}\left(\dfrac12+n\right)\\ x=\dfrac{k\pi}{2}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$