Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2016 C №37
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+15n+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n+17=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+17=\fbox{c}(4^k+15k+17)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
a = 3
b = 6
c = 4
d = 9
e = 5
f = 4
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 33.62%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $k$-р гишүүнийг олохын тулд ерөнхий гишүүний оронд $k$-г орлуулж бодно. Жишээ нь $1$-р гишүүн нь $4^{1}+15\cdot 1+17$ байна.
Хэрвээ $\fbox{c}$-г шууд олж чадахгүй бол $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{4^{k+1}+15(k+1)+17}{4^k+15k+17}$ хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!
Хэрвээ $\fbox{c}$-г шууд олж чадахгүй бол $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{4^{k+1}+15(k+1)+17}{4^k+15k+17}$ хязгаар хэдтэй тэнцүү байхыг сонирхож үзээрэй!
Бодолт: I. $n=1$ үед $4^n+15n+17=4^1+15\cdot1+17=36$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл $4^k+15k+17=9t$
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+17=4\underbrace{(4^k+15k+17)}_{9t}-9(5k+4)$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл $4^k+15k+17=9t$
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+17=4\underbrace{(4^k+15k+17)}_{9t}-9(5k+4)$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.