Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Виетийн теорем, төгсгөлгүй буурах геометр прогресс
$16x^2+8x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $\alpha$, $\beta$ бол $$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\dfrac{1}{17}$
B. $\dfrac{32}{51}$
C. $\dfrac{16}{17}$
D. $-\dfrac{16}{23}$
E. $\dfrac{16}{23}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 33.01%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Виетийн теорем ба төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ашигла.
Бодолт: Виетийн теоремоор $\alpha+\beta=-\dfrac{8}{16}=-\dfrac12$, $\alpha\cdot\beta=\dfrac{-1}{16}$ байна. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёо ёсоор
$$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)=$$
$$=\dfrac{1}{1-\alpha}\cdot\dfrac{1}{1-\beta}=\dfrac{1}{1-\alpha-\beta+\alpha\cdot\beta}=$$
$$=\dfrac{1}{1+\dfrac12-\dfrac{1}{16}}=\dfrac{16}{23}$$