Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Куб тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх
$x^3-6x^2+3x+p=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1\le x_2\le x_3$ гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох тоонууд бол $x_1=-\fbox{a}$, $x_2=\fbox{b}$, $x_3=\fbox{c}$ байна.
a = 1
b = 2
c = 5
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 56.03%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Виетийн теорем:
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ куб тэгшитгэлийн шийдүүд нь $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ бол
$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$
буюу $\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta+\alpha\beta+\beta\gamma=\dfrac{c}{a}$ , $\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$ байна.
Бодолт: Виетийн теоремоор $x_1+x_2+x_3=-(-6)$ ба арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд тул $x_1+x_3=2x_2$ байна. Иймд $3x_2=6\Rightarrow x_2=2$ байна.
$x_1=x_2-d=2-d$, $x_3=x_2+d=2+d$ ба $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ тул $$2x_1+2x_3+x_1x_3=2\cdot 2x_2+(2-d)(2+d)=3\Leftrightarrow d^2=9$$ тул $d=\pm3$ болно. Өсөх арифметик прогресс тул $d=3$ болно. Иймд $x_1=2-3=-1$, $x_3=2+3=5$
$x_1=x_2-d=2-d$, $x_3=x_2+d=2+d$ ба $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ тул $$2x_1+2x_3+x_1x_3=2\cdot 2x_2+(2-d)(2+d)=3\Leftrightarrow d^2=9$$ тул $d=\pm3$ болно. Өсөх арифметик прогресс тул $d=3$ болно. Иймд $x_1=2-3=-1$, $x_3=2+3=5$