Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Модультай интеграл
$\displaystyle\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$
A. $22$
B. $23$
C. $24$
D. $25$
E. $26$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 67.44%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $a< b< c$ бол
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x$$
байдаг.
$f(x)=x^2-4x+3$ функцийн эерэг ба сөрөг байх мужийг олоод муж тус бүр дээр $|f(x)|$-ийн интегралыг бод.
$f(x)=x^2-4x+3$ функцийн эерэг ба сөрөг байх мужийг олоод муж тус бүр дээр $|f(x)|$-ийн интегралыг бод.
Бодолт: $x^2-4x+3<0\Leftrightarrow 1< x<3$ байна.
$[-2,5]$ мужийг $[-2;1]$, $[1;3]$, $[3;5]$ мужуудад хувааж бодвол $$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+$$ $$+\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$$ ба $$\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{-2}^1=$$ $$=\Big(\dfrac{1^3}{3}-2\cdot1^2+3\cdot1\Big)-\Big(\dfrac{(-2)^3}{3}-2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)\Big)=$$ $$=\dfrac{4}{3}-\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)=18,$$ $$\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{3}-(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\Big)\bigg|_{1}^3=$$ $$=\Big(-\dfrac{3^3}{3}+2\cdot3^2-3\cdot3\Big)-\Big(-\dfrac{1^3}{3}+2\cdot1^2-3\cdot1\Big)=0-\Big(-\dfrac{4}{3}\Big)=\dfrac{4}{3},$$ $$\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{3}^{5}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{3}^5=$$ $$=\Big(\dfrac{5^3}{3}-2\cdot5^2+3\cdot5\Big)-\Big(\dfrac{3^3}{3}-2\cdot3^2+3\cdot3\Big)=\dfrac{20}{3}+0=\dfrac{20}{3}$$ тул $$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=18+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=26$$
$[-2,5]$ мужийг $[-2;1]$, $[1;3]$, $[3;5]$ мужуудад хувааж бодвол $$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+$$ $$+\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$$ ба $$\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{-2}^1=$$ $$=\Big(\dfrac{1^3}{3}-2\cdot1^2+3\cdot1\Big)-\Big(\dfrac{(-2)^3}{3}-2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)\Big)=$$ $$=\dfrac{4}{3}-\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)=18,$$ $$\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{3}-(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\Big)\bigg|_{1}^3=$$ $$=\Big(-\dfrac{3^3}{3}+2\cdot3^2-3\cdot3\Big)-\Big(-\dfrac{1^3}{3}+2\cdot1^2-3\cdot1\Big)=0-\Big(-\dfrac{4}{3}\Big)=\dfrac{4}{3},$$ $$\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{3}^{5}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{3}^5=$$ $$=\Big(\dfrac{5^3}{3}-2\cdot5^2+3\cdot5\Big)-\Big(\dfrac{3^3}{3}-2\cdot3^2+3\cdot3\Big)=\dfrac{20}{3}+0=\dfrac{20}{3}$$ тул $$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=18+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=26$$