Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл
$\cos2x+3\cos x-1=0$ тэгшитгэлийн $[0;2\pi]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{4\pi}{3}$
B. $4\pi$
C. $\dfrac{3\pi}{2}$
D. $2\pi$
E. $\dfrac{5\pi}{2}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 0.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\cos2x=2\cos^2x-1$ байна. $c=\cos x$, $|c|\le 1$ орлуулга хий.
Бодолт: $$\cos2x+3\cos x-1=0\Leftrightarrow 2\cos^2x+3\cos x-2=0$$
$c=\cos x$ гэвэл $2c^2+3c-2=0$ тул $$c_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot 2}=\dfrac{-3\pm 5}{2}$$
$c_1=\dfrac12$, $c_2=-4$ ба $|c|\le1$ тул $c=\dfrac12$. Орлуулгаа буцаавал $$\cos x=\dfrac12\Rightarrow x=\pm\arccos\dfrac12+2\pi k=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$$
болно. Эндээс $0\le x\le 2\pi$ тул $x_1=\dfrac{\pi}{3}$, $x_2=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi$ болно. Иймд $x_1+x_2=2\pi$ байна.