Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тодорхой биш интеграл бодох орлуулгын арга
$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x=?$
A. $\dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{3}+C$
B. $\dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{6}+C$
C. $\dfrac{2(x-1)\sqrt{x+1}}{6}+C$
D. $\dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{3}+C$
E. $\dfrac{2(x-1)\sqrt{x-1}}{6}+C$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 53.66%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$
бол
$$\int f[g(x)]g^\prime(x)\,\mathrm{d}x=\int f[g(x)]\,\mathrm{d}g(x)=F(g(x))+C$$
байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.
$t=\sqrt{x+1}$ гэвэл $x=t^2-1$, $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ байна.
$t=\sqrt{x+1}$ гэвэл $x=t^2-1$, $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ байна.
Бодолт: $$\displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}t=\sqrt{x+1}\\x=t^2-1\\\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int\dfrac{t^2-1}{t}\cdot 2t\,\mathrm{d}t=2\int(t^2-1)\,\mathrm{d}t$$
$$=\dfrac{2t^3}{3}-2t+C=\dfrac{2(t^2-3)t}{3}+C=\dfrac{2(x-2)\sqrt{x+1}}{3}+C$$