Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Векторын уртын ХИУ, ХБУ
$\vec{p}$, $\vec{q}$ векторууд $|\vec{p}+3\vec{q}|=1$, $|3\vec{p}-\vec{q}|=1$ нөхцөлийг хангах үед $|\vec{p}+\vec{q}|$-ийн хамгийн их ба бага утгыг харгалзан $M$, $m$ гэе. $M-m=?$
A. $\dfrac{1}{5}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{2}{3}$
D. $\dfrac{2}{5}$
E. $\dfrac{3}{4}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 57.69%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\vec{x}$, $\vec{y}$ векторуудын хоорондох өнцөг $\alpha$ бол скаляр үржвэр нь $$\vec{x}\cdot\vec{z}=|\vec{x}|\cdot|\vec{z}|\cdot\cos\alpha$$
гэж тодорхойлогдох ба
$$-|\vec{x}|\cdot|\vec{z}|\le \vec{x}\cdot\vec{z}\le |\vec{x}|\cdot|\vec{z}|$$
байна.
Мөн векторын скаляр үржвэр нь дараах чанартай: $$\vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}$$ $$|\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x}$$
Мөн векторын скаляр үржвэр нь дараах чанартай: $$\vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}$$ $$|\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x}$$
Бодолт: $\left\{\begin{array}{c}\vec{u}=\vec{p}+3\vec{q}\\ \vec{v}=3\vec{p}-\vec{q}\end{array}\right.$ гэвэл $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ ба $\left\{\begin{array}{c}\vec{p}=\dfrac{1}{10}\vec{u}+\dfrac{3}{10}\vec{v}\\ \vec{q}=\dfrac{3}{10}\vec{u}-\dfrac{1}{10}\vec{v}\end{array}\right.$ болно.
Иймд $$\vec{p}+\vec{q}=\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}$$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|^2=\left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)=\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{u}-\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{v}+\dfrac{1}{25}\vec{v}\cdot\vec{v}$$ байна. $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$-ээс $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}=1$ ба $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos\alpha$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|=\sqrt{\dfrac15-\dfrac{4}{25}\cdot\cos\alpha}$$ байна. Энд $\alpha$ нь $\vec{p}$, $\vec{q}$ векторуудын хоорондох өнцөг. Энэ илэрхийллийн хамгийн их утга нь $\cos\alpha=-1$ үед $M=\dfrac{3}{5}$, хамгийн бага утга нь $\cos\alpha=1$ үед $m=\dfrac{1}{5}$ байх тул $M-m=\dfrac{2}{5}$ байна.
Иймд $$\vec{p}+\vec{q}=\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}$$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|^2=\left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)=\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{u}-\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{v}+\dfrac{1}{25}\vec{v}\cdot\vec{v}$$ байна. $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$-ээс $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}=1$ ба $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos\alpha$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|=\sqrt{\dfrac15-\dfrac{4}{25}\cdot\cos\alpha}$$ байна. Энд $\alpha$ нь $\vec{p}$, $\vec{q}$ векторуудын хоорондох өнцөг. Энэ илэрхийллийн хамгийн их утга нь $\cos\alpha=-1$ үед $M=\dfrac{3}{5}$, хамгийн бага утга нь $\cos\alpha=1$ үед $m=\dfrac{1}{5}$ байх тул $M-m=\dfrac{2}{5}$ байна.