Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2014 B №39
$\dfrac{16}{17}\sin^8x+\dfrac{16}{17}\cos^8x=\dfrac{1}{2}$ тэгшитгэл бод.
Бодолт:
$(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно. (1 оноо)
Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн (3 оноо) квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$. (2 оноо)
Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно. (1 оноо)
a = 8
bcd = 415
ef = 12
g = 8
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 20.28%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\sin2x=2\sin x\cos x, \cos2x=\cos^2x-\sin^2x, \sin^2x=1-\cos^2x$ томъёонуудыг ашиглан $0\le \sin^22x\le 1$ тооцон бод.
Бодолт: $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ ба $2\sin^4x\cos^4x=\dfrac18\sin^42x$ тул $\fbox{a}=8.$ Ижил хуваарь өгч хялбарчилбал $4(\sin^22x)^2-32\sin^22+15=0$ тэгшитгэлд шилжих тул $\fbox{b}=4, \fbox{cd}=15$ болно. Тэгшитгэлийг бодвол $\sin^22x=\dfrac12$ болох тул $\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}=\dfrac12$. $\sin^22x=\dfrac{1-\cos4x}{2}=\dfrac12 \Rightarrow \cos4x=0$ болно. Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болж $\fbox{g}=8$ байна.