Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2012 B №13
$A=\dfrac15+\dfrac45+\dfrac75+\dots+14$; $B=\dfrac{71}{5}+\dfrac{71}{10}+\dfrac{71}{20}+\cdots$ бол $\dfrac{A}{B}=?$
A. $\dfrac{71}{5}$
B. $\dfrac{5}{71}$
C. $\dfrac{12}{5}$
D. $8$
E. $6$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 36.02%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A$ нь $a_1=\dfrac15$, $d=\dfrac35$ ба $a_n=14$ байх арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр байна.
$a_n=a_1+(n-1)d$ ашиглан $n$-ийг олоод $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ томьёог ашиглан $A$-г ол.
$B$ нь $b_1=\dfrac{71}{5}$ ба $q=\dfrac12$ байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр байна. $B=\dfrac{b_1}{1-q}$ томьёог ашиглаарай!
$a_n=a_1+(n-1)d$ ашиглан $n$-ийг олоод $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ томьёог ашиглан $A$-г ол.
$B$ нь $b_1=\dfrac{71}{5}$ ба $q=\dfrac12$ байх төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр байна. $B=\dfrac{b_1}{1-q}$ томьёог ашиглаарай!
Бодолт: $\dfrac15+(n-1)\cdot\dfrac35=14\Rightarrow 1+3n-3=5\cdot14\Rightarrow n=24$ байна. Иймд $$A=S_{24}=\dfrac{\dfrac15+14}{2}\cdot 24=\dfrac{71\cdot 12}{5}$$ байна.
$B=\dfrac{\frac{71}{5}}{1-\frac12}=\dfrac{71\cdot 2}{5}$ байна. Иймд $$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\frac{71}{5}\cdot 12}{\frac{71}{5}\cdot 2}=\frac{12}{2}=6$$
$B=\dfrac{\frac{71}{5}}{1-\frac12}=\dfrac{71\cdot 2}{5}$ байна. Иймд $$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\frac{71}{5}\cdot 12}{\frac{71}{5}\cdot 2}=\frac{12}{2}=6$$