Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2007 A №13
$\cos2\alpha=\dfrac{2}{3}$ бол $\sin^3\alpha\cdot\sin3\alpha+\cos^3\alpha\cdot\cos3\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\dfrac49$
B. $\dfrac12$
C. $\dfrac8{27}$
D. $\dfrac13$
E. $\dfrac23$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 25.82%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглан зэрэг бууруулж хялбарчил. Мөн
$$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$$
$$\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
болохыг ашиглаарай!
Бодолт: \begin{align*}
\sin^3\alpha\cdot\sin3\alpha&+\cos^3\alpha\cdot\cos3\alpha=(1-\cos^2\alpha)\sin\alpha\cdot\sin3\alpha+(1-\sin^2\alpha)\cos\alpha\cdot\cos3\alpha\\
&=(\sin\alpha\cdot\sin3\alpha+\cos\alpha\cdot\cos3\alpha)-\sin\alpha\cos\alpha(\cos\alpha\cdot\sin3\alpha+\sin\alpha\cdot\cos3\alpha)\\
&=\cos2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin4\alpha=\cos2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\cdot2\sin2\alpha\cos2\alpha\\
&=\cos2\alpha-(2\sin\alpha\cos\alpha)\cdot\sin2\alpha\cos2\alpha=\cos2\alpha-\sin2\alpha\cdot\sin2\alpha\cos2\alpha\\
&=\cos2\alpha-\sin^22\alpha\cdot\cos2\alpha=\cos2\alpha-(1-\cos^22\alpha)\cos2\alpha=\cos^32\alpha
\end{align*}
$\cos2\alpha=\dfrac{2}{3}$ тул $\cos^32\alpha=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$ байна.