Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2007 A №11
Талуудын урт нь $\sqrt{7}+1$, $4$, $\sqrt{7}-1$ байх гурвалжин байв. Эдгээрээс аль богино 2 талыг нь тойруулан эргүүлэхэд үүсэх 2 биетийн эзлэхүүнүүдийн харьцаа аль байж болох вэ?
A. $\dfrac{3}{4-\sqrt7}$
B. $\dfrac{4-\sqrt7}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt7-2}{2}$
D. $\dfrac{18-\sqrt7}{6}$
E. $\sqrt{17}+1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 20.19%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $(\sqrt{7}-1)^2+(\sqrt{7}+1)^2=4^2$ тул гипотенуз нь $4$ байх тэгш өнцөгт гурвалжин үүснэ.
Иймд богино талууд буюу хоёр катетыг нь тойруулан эргүүлэхэд 2 ширхэг конус хэлбэрийн дүрс үүснэ.
Иймд богино талууд буюу хоёр катетыг нь тойруулан эргүүлэхэд 2 ширхэг конус хэлбэрийн дүрс үүснэ.
Бодолт: $a$, $b$ катеттай тэгш өнцөгт гурвалжныг $b$ урттай катетыг нь тойруулан эргүүлэхэд өндөр нь $b$, суурийн радиус нь $a$ байх конус үүсэх ба эзлэхүүн нь $$V_{b}=\dfrac{1}{3}\pi a^2 b$$ байна. Иймд
$$\dfrac{V_{a}}{V_{b}}=\dfrac{\frac13\pi b^2a}{\frac13\pi a^2b}=\dfrac{b}{a}$$
байна.
Бидний сонирхож буй харьцаа $$\dfrac{V_{\sqrt{7}+1}}{V_{\sqrt{7}-1}}=\dfrac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+1}=\dfrac{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)}=\dfrac{8-2\sqrt7}{6}=\dfrac{4-\sqrt7}{3}$$
тул B хариулт зөв байна.