Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Нийлбэр олох
$\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dots+\dfrac{1}{99\cdot 101}=?$
A. $\dfrac{1}{101}$
B. $\dfrac{49}{101}$
C. $\dfrac{50}{101}$
D. $\dfrac12$
E. $\dfrac{1}{5050}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 50.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $a_n=b_{n+1}-b_{n}$, $n\in\mathbb Z$ бол $a_1+a_2+\dots+a_n=b_{n+1}-b_{1}$ байдаг.
$$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)$$
болохыг ашиглан бод.
Бодолт: \begin{align*}
\tfrac{1}{1\cdot 3}+\tfrac{1}{3\cdot 5}+\dots+\tfrac{1}{99\cdot 101}&=\tfrac12\left(\tfrac1{1}-\tfrac1{3}+\tfrac13-\tfrac15+\dots+\tfrac1{99}-\tfrac1{101}\right)\\
&=\tfrac12\left(\tfrac11-\tfrac1{101}\right)=\tfrac12\cdot\tfrac{100}{101}=\tfrac{50}{101}
\end{align*}