Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $a,b,c$ тоонууд энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 3 гишүүн байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $$a+b=2c$$ байдаг.

Бодолт: $\sqrt{2x+4}$, $\sqrt{6x}$, $\sqrt{10x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн тул $$\sqrt{2x+4}+\sqrt{10x+4}=2\sqrt{6x}$$ Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж эмхэтгэвэл $$\sqrt{2x+4}\cdot\sqrt{10x+4}=6x-4$$ болох ба дахин квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл $$(2x+4)(10x+4)=(6x-4)^2\Leftrightarrow$$ $$16x^2-96x=0$$ тул $x=0$, $x=6$ гэсэн шийдүүд гарах бөгөөд $x=0$ үед 2, 0, 2 гэсэн тоонууд гарах бөгөөд арифметик прогресс үүсэхгүй. Харин $x=6$ үед 4, 6, 8 гэсэн тоонууд гарах тул ялгавар нь 2 байна.

Нэмэлт: Бидэнд $\sqrt{2x+4}+\sqrt{10x+4}=2\sqrt{6x}$ тэгшитгэлийн ямар нэг бодит шийд хэрэгтэй (хоёр болон түүнээс дээш тооны шийдтэй бол бодлого нэг хариутай байж чадахгүй, эсвэл бүх шийд нь ижилхэн ялгавар өгөх ёстой!). Бидэнд $x=6$ гэсэн хялбархан шалгаж болох шийд байгаа тул $$d=\sqrt{6\cdot 6}-\sqrt{2\cdot 6+4}=2$$ гэж бодож болно. Ийм бодолтыг цээжээр бодох нь цаг хожих нэг боломж юм.