Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 C №21
$a_1=\dfrac12$, $a_2=\dfrac56$ бөгөөд $n\ge 3$ дугаарын хувьд $a_n=a_{n-2}+\dfrac{4}{3^{n-1}}$ гэсэн рекуррент томьёогоор өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $-2$
E. $-1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 24.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Дурын $\varepsilon>0$ тоо бүрийн хувьд түүнээс хамаарсан ямар нэг $N_\varepsilon$ дугаар олдоод түүнээс хойших ($n>N_\varepsilon$) ямар ч $n$ дугаарын хувьд $|a_n-a|<\varepsilon$ нөхцөл биелэж байвал $a$ тоог (хэрвээ ийм тоо оршин байвал) $\{a_n\}$ дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг. Үүнийг $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ гэж тэмдэглэдэг.
Ийм маягийн тодорхойлолт ашиглан
Ийм маягийн тодорхойлолт ашиглан
- Хэрвээ дарааллын хязгаар оршин байвал тэр нь цор ганц байна.
- Хязгаар нь оршин байдаг дарааллын дурын дэд дарааллын хязгаар нь эх дарааллын хязгаартай тэнцүү байна.
Бодолт: Нэгэнт дараалал хязгаартай бол тэр нь цор ганц байдаг тул өгөгдсөн хариунууд дээр үндэслэн өгөгдсөн дараалал цор ганц хязгаартай гэж үзэж болно.
Мөн дурын дэд дарааллын хязгаар нь эх дарааллын хязгаартай тэнцүү тул аль нэг дэд дарааллын хязгаарыг бодоход хангалттай.
$b_1=a_1=\dfrac12$, $b_2=a_3=\dfrac12+\dfrac{4}{3^{3-1}}$, $b_3=a_5=\dfrac12+\dfrac{4}{3^{3-1}}+\dfrac{4}{3^{5-1}}$ гэх мэтчилэн $$b_n=\dfrac12+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9^2}+\dots+\dfrac{4}{9^{n-1}}$$ гэсэн дэд дарааллын хязгаарыг бодъё. Геометр прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр олох томьёо ашиглавал $b_n=\dfrac12+\dfrac49\cdot\dfrac{1-\big(\frac19\big)^{n-1}}{1-\frac19}$ болно. $\lim\limits_{n\to\infty}\big(\frac19\big)^{n-1}=0$ тул (өөрөөр хэлбэл $n$ тоо ихсэх тусам $\big(\frac19\big)^{n-1}$ илэрхийлэл 0-рүү тэмүүлнэ) $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=\dfrac12+\dfrac49\cdot\dfrac{1-0}{1-\frac19}=1.$$ $b_n$ нь $a_n$ дарааллын дэд дараалал тул $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} b_n=1$ байна.
Та бүхэн $c_1=a_2$, $c_2=a_4,\dots, c_n=a_{2n},\dots$ дэд дарааллын хязгаарыг үүнтэй төстэй аргаар бодож үзээрэй!
Мөн дурын дэд дарааллын хязгаар нь эх дарааллын хязгаартай тэнцүү тул аль нэг дэд дарааллын хязгаарыг бодоход хангалттай.
$b_1=a_1=\dfrac12$, $b_2=a_3=\dfrac12+\dfrac{4}{3^{3-1}}$, $b_3=a_5=\dfrac12+\dfrac{4}{3^{3-1}}+\dfrac{4}{3^{5-1}}$ гэх мэтчилэн $$b_n=\dfrac12+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9^2}+\dots+\dfrac{4}{9^{n-1}}$$ гэсэн дэд дарааллын хязгаарыг бодъё. Геометр прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр олох томьёо ашиглавал $b_n=\dfrac12+\dfrac49\cdot\dfrac{1-\big(\frac19\big)^{n-1}}{1-\frac19}$ болно. $\lim\limits_{n\to\infty}\big(\frac19\big)^{n-1}=0$ тул (өөрөөр хэлбэл $n$ тоо ихсэх тусам $\big(\frac19\big)^{n-1}$ илэрхийлэл 0-рүү тэмүүлнэ) $$\lim\limits_{n\to\infty} b_n=\dfrac12+\dfrac49\cdot\dfrac{1-0}{1-\frac19}=1.$$ $b_n$ нь $a_n$ дарааллын дэд дараалал тул $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} b_n=1$ байна.
Та бүхэн $c_1=a_2$, $c_2=a_4,\dots, c_n=a_{2n},\dots$ дэд дарааллын хязгаарыг үүнтэй төстэй аргаар бодож үзээрэй!