Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Ялгавар дараалал (2)
$6, 24, 60, 120, 210, 336, 504,\ldots$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Дарааллын дараалсан хоёр гишүүний ялгавар дарааллыг сонирхоё:
$$18, 36, 60, 90, 126, 168,\ldots \boldsymbol{\cdots}(1)$$
байна. (1) дарааллын ялгавар дараалал нь: $$18, 24, 30, 36, 42,\ldots \boldsymbol{\cdots}(2)$$
байна. (2) дарааллын ялгавар дараалал нь: $$6, 6, 6, 6,\ldots \boldsymbol{\cdots}(3)$$
байна. Эндээс харахад (3)-р дараалал тогтмол $6$ байна. (2)-р ялгавар дарааллыг $c_n$ гэвэл $c_1=18, d=6$ байх арифметик прогресс байна. Иймд $c_n=12+6n$ болно. (1)-р ялгавар дарааллыг $b_n$ гэвэл $b_{n+1}-b_n=c_n, b_1=18$ байна. Иймд $n\ge 2$ үед $\sum\limits_{k=1}^{n-1}c_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_n-b_1=b_n-18$ болно.
$$\sum_{k=1}^{n-1}c_k=\sum_{k=1}^{n-1}(12+6n)=12(n-1)+6\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}=3n^2+9n-12$$ учир $b_n=3n^2+9n+6$ болно. Анхны дарааллыг $a_n$ гэвэл $a_{n+1}-a_n=b_n, a_1=6$ тул $n\ge2$ үед $\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1=a_n-6$ болно. $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}b_k&=\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+9k+6)=\sum_{k=1}^{n-1}3k^2+\sum_{k=1}^{n-1}9k+\sum_{k=1}^{n-1}6\\ &=3\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+9\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+6\cdot(n-1)=n^3+3n^2+2n-6 \end{aligned}$$ тул $a_n=n^3+3n^2+2n$ болно.
байна. (1) дарааллын ялгавар дараалал нь: $$18, 24, 30, 36, 42,\ldots \boldsymbol{\cdots}(2)$$
байна. (2) дарааллын ялгавар дараалал нь: $$6, 6, 6, 6,\ldots \boldsymbol{\cdots}(3)$$
байна. Эндээс харахад (3)-р дараалал тогтмол $6$ байна. (2)-р ялгавар дарааллыг $c_n$ гэвэл $c_1=18, d=6$ байх арифметик прогресс байна. Иймд $c_n=12+6n$ болно. (1)-р ялгавар дарааллыг $b_n$ гэвэл $b_{n+1}-b_n=c_n, b_1=18$ байна. Иймд $n\ge 2$ үед $\sum\limits_{k=1}^{n-1}c_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_n-b_1=b_n-18$ болно.
$$\sum_{k=1}^{n-1}c_k=\sum_{k=1}^{n-1}(12+6n)=12(n-1)+6\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}=3n^2+9n-12$$ учир $b_n=3n^2+9n+6$ болно. Анхны дарааллыг $a_n$ гэвэл $a_{n+1}-a_n=b_n, a_1=6$ тул $n\ge2$ үед $\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k=\sum\limits_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=a_n-a_1=a_n-6$ болно. $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n-1}b_k&=\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+9k+6)=\sum_{k=1}^{n-1}3k^2+\sum_{k=1}^{n-1}9k+\sum_{k=1}^{n-1}6\\ &=3\cdot\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+9\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+6\cdot(n-1)=n^3+3n^2+2n-6 \end{aligned}$$ тул $a_n=n^3+3n^2+2n$ болно.