Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Дараах нийлбэрийг ол.

$\sum\limits_{k=5}^7(k^2-k+1)$
$\sum\limits_{k=2}^n(2^k+3)$
$\sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{2^k-1}{2^{k-1}}$
$\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)$
$\sum\limits_{k=1}^n(k\cdot(2k-1))$

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$\sum\limits_{k=5}^7(k^2-k+1)=(5^2-5+1)+(6^2-6+1)+(7^2-7+1)=21+31+43=95$
$\sum\limits_{k=2}^n(2^k+3)=\sum\limits_{k=2}^n2^k+\sum\limits_{k=2}^n3=2^{n+1}-4+3\cdot(n-1)=2^{n+1}+3n-8$
\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{2^k-1}{2^{k-1}}&=\sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{2^k}{2^{k-1}}-\sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{2^{k-1}}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{10}2-\sum\limits_{k=0}^{9}\dfrac{1}{2^{k}}=20-\dfrac{\Big(\dfrac12\Big)^{10}-1}{\Big(\dfrac12\Big)-1}\\ &=20-2+\dfrac1{2^9}=18+\dfrac1{2^9} \end{align*}
$\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)=2\cdot\sum\limits_{k=1}^nk+\sum\limits_{k=1}^n1=2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+n=n(n+2)$
\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n(k\cdot(2k-1))&=\sum\limits_{k=1}^n(2k^2-k)=2\sum\limits_{k=1}^nk^2-\sum\limits_{k=1}^nk\\ &=2\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{n(n+1)}{2}\\ &=\dfrac{n(n+1)(4n+2-3)}{6}=\dfrac{n(n+1)(4n-1)}{6} \end{align*}