Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: Рекуррент харьцааг $a_{n+2}-5a_{n+1}=2(a_{n+1}-5a_n)$ хэлбэрт бичье. $a_{n+1}-5a_n=b_n$ гэвэл $b_{n+1}=2b_n, b_1=a_2-5a_1=-1$ болно. Иймд $b_n=(-1)\cdot 2^{n-1}=-2^{n-1}$ байна. Эндээс $a_{n+1}-5a_n=-2^{n-1}$ болно. $\displaystyle\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac 52\dfrac{a_n}{2^n}=-\dfrac 14$ гэж бичээд $\dfrac{a_n}{2^n}=c_n$ гэвэл $c_{n+1}=\dfrac 52 c_n-\dfrac 14$ болно. $c_{n+1}-\dfrac 16=\dfrac 52\left(c_n-\dfrac 16\right)$, $c_1-\dfrac 16=\dfrac 12-\dfrac 16=\dfrac13$ учир $c_n-\dfrac 16=\dfrac 13\cdot\left(\dfrac 52\right)^{n-1}$ буюу $c_n=\dfrac 16+\dfrac 13\cdot\left(\dfrac 52\right)^{n-1}$ юм. Эндээс $a_n=\dfrac 13\cdot 2^{n-1}+\dfrac 25\cdot 5^{n-1}=\dfrac{2^{n-1}+2\cdot 5^{n-1}}{3}$ гэж олдоно.