Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$a_1=1, a_{n+1}=\displaystyle\dfrac{a_n}{2a_n+3}$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
$a_1=2, a_{n+1}=2a_n+2\displaystyle\dfrac{a_n}{n}$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_n$-дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n$ ба $S_n=3a_n-n-1$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

Өгсөн рекуррент харьцааг $\displaystyle\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2a_n+3}{a_n}=2+\dfrac{3}{a_n}$ гэж бичье. $\dfrac{1}{a_n}=b_n$ гэвэл $b_{n+1}=3b_n+2$ болно. Эндээс $b_1=1$ тул $b_n=2\cdot 3^{n-1}-1$ буюу $a_n=\displaystyle\dfrac{1}{2\cdot 3^{n-1}-1}$ байна.
$a_{n+1}=2\cdot \dfrac{n+1}{n}\cdot a_n$ хэлбэрт бичиж болно. Эндээс $\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=2\cdot\dfrac{a_n}{n}$ болно. $\dfrac{a_n}{n}=b_n$ гэвэл $b_{n+1}=2\cdot b_n$ байна. Иймд $b_n$ нь $b_1=2, q=2$ байх геометр прогресс байна. Эндээс $b_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$ болж $a_n=n\cdot 2^n$ байна.
$S_1=a_1$ тул $a_1=3a_1-1-1=3a_1-2$ буюу $a_1=1$ байна. $S_{n-1}=3\cdot a_{n-1}-(n-1)-1=3\cdot a_{n-1}-n \boldsymbol{\cdots}(1)$ гэе. $S_n=S_{n-1}+a_n$-д (1)-ийг орлуулбал $3\cdot a_n-n-1=3\cdot a_{n-1}-n+a_n$ болно. Эндээс $a_n=\dfrac 32a_{n-1}+\dfrac 12$ гэж гарна. $a_n+1=\dfrac 32(a_{n-1}+1)$ тул $a_n+1=2\cdot \left(\displaystyle\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}$ буюу $a_n=2\cdot \left(\displaystyle\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1$ болно.