Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$a_{n+1}-3\cdot(n+1)=2\cdot(a_n-3n)-2$ гэж бичиж болно. Одоо $a_n-3n=b_n$ гэвэл $$b_{n+1}=a_{n+1}-3\cdot(n+1),\quad b_1=a_1-3\cdot 1=1-3=-2$$ болно. Иймд $b_{n+1}=2b_n-2 $ тул $b_{n+1}-2=2(b_n-2)$ буюу $$b_n-2=(-4)\cdot 2^{n-1}=-2^{n+1}$$ байна. Эндээс $a_n-3n=b_n=2-2^{n+1}\Rightarrow a_n=3n+2-2^{n+1}$ байна.
$a_{n+1}=2\cdot a_n+2^{n+1}$-ийг $$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{2\cdot a_n}{2^{n+1}}+\dfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}}\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{a_n}{2^n}+1$$ гэж бичиж болно. Одоо $b_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ гэвэл $b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}, b_1=\dfrac{a_1}{2}=3$ болно. $b_{n+1}=b_n+1, b_1=3$ учир $b_n=3+(n-1)\cdot 1=n+2$ байна. Эндээс $a_n=(n+2)\cdot 2^n$ болов.
$a_1=4 $ тул $a_n>0$ байна. $a_{n+1}=2\cdot a_n^3$ тул $$\log_2 a_{n+1}=\log_2 2\cdot a_n^3=1+3\log_2 a_n$$ байна. $b_n=\log_2 a_n$ гэвэл $b_1=2$ ба $b_{n+1}=\log_2 a_{n+1}$ тул $b_{n+1}=1+3b_n$ болно. Иймд $b_{n+1}+\dfrac 12=3\cdot\Big(b_n+\dfrac 12\Big)$ ба $$b_n=\dfrac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\dfrac 12=\dfrac{5\cdot 3^{n-1}-1}{2}$$ болно. Эндээс $a_n=2^{b_n}=2^{\frac{5\cdot 3^{n-1}-1}{2}}$ байна.