Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Арифметик ба геометр прогресс
$p$, $q$, $r$, $s$ тоонуудын хувьд $p$, $q$, $r$ геометр прогресс, $q$, $r$, $s$-арифметик прогресс үүсгэх ба $p+q+r=19$, $q+r+s=12$ бол $p, q, r, s$-ийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $x$, $y$, $z$ энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэхийн тулд $x+z=2y$ байна.
$x$, $y$, $z$ нь энэ дарааллаараа геометр прогресс үүсгэхийн тулд $x\cdot z=y^2$ байна.
$x$, $y$, $z$ нь энэ дарааллаараа геометр прогресс үүсгэхийн тулд $x\cdot z=y^2$ байна.
Бодолт: $p$, $q$, $r$ нь геометр прогресс тул $p\cdot r=q^2 \cdots(1)$. $q$, $r$, $s$ нь арифметик прогресс тул $q+s=2r \cdots(2)$ байна. $(2)$-оос $q+r+s=3r=12\Rightarrow r=4$. Эндээс өгсөн нөхцлийг тооцвол $(1)$ ба $(2)$-оос
$$\left\{\begin{array}{cl}
4p=q^2 & \cdots(3)\\
q+s=8 & \cdots(4)\\
p+q=15 & \cdots(5)
\end{array}\right.$$
болно. $(3)$-ийг $(5)$-д орлуулбал $\dfrac{q^2}4+q=15\Rightarrow q=6, q=-10$ гэж гарна. $q=6$ үед $(p,q,r,s)=(9,6,4,2)$; $q=-10$ үед $(p,q,r,s)=(25,-10,4,18)$ болно.