Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$a_n$-геометр прогрессын ногдвор $q$ эхний гишүүн $a$ байг.

$a=5, a_{13}=45$ бол $a_{7}, q$-ийг ол.
$a_2=8, a_{8}=\dfrac 18$ бол $q, a, S_6$-г ол.
$S_3=70, a_1\cdot a_2\cdot a_3=8000, q>1$ бол $q, a, a_n-$ыг ол.
$S_3=21, \dfrac 1{a_3}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac 1{a_1}=\dfrac7{12}, q>0, a>0$ бол $q, a, a_n$-г ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$q^{12}=\dfrac{a_{13}}{a_1}=9$ тул $q=\pm\sqrt[6]3$ болно. $a_7=a\cdot q^6=15$ байна.
$q^6=\dfrac{a_8}{a_2}=\dfrac{1}{64}$ тул $q=\pm\dfrac 12.$ Нөгөө талаас $a_2=a\cdot q=8$ тул $a=\pm16$ байна. Хэрэв $a=16$ бол $q=\dfrac12$ байх тул

$$S_6=a\cdot\displaystyle\dfrac{q^6-1}{q-1}=16\cdot\dfrac{\dfrac{1}{64}-1}{\dfrac 12-1}=\dfrac 32$$

Хэрэв $a=-16$ бол $q=-\dfrac12$ байх тул

$$S_6=a\cdot\displaystyle\dfrac{q^6-1}{q-1}=-16\cdot\dfrac{\dfrac{1}{64}-1}{-\dfrac 12-1}=-\dfrac {21}2$$
$S_3=a(1+q+q^2)=70 \quad(1), a_1\cdot a_2\cdot a_3=a^3\cdot q^3=8000 \quad(2)$ юм. $(2)$-оос $a\cdot q=20$ болно. Үүнийг $(1)$-д орлуубал $\displaystyle\dfrac{20}{q}+20+20q=70$ ба $q>0$ тул $q=2$ гэж гарна. Иймд $a=10$, $a_n=10\cdot 2^{n-1}=5\cdot 2^n$ байна.
$a(1+q+q^2)=21 \quad(1)$, $\dfrac{1}{aq^2}+\dfrac{1}{aq}+\dfrac 1a=\dfrac 1{aq^2}(1+q+q^2)=\dfrac{7}{12} \quad(2)$ гэе. $(1)$-ийг $(2)$-т хуваавал $a^2q^2=36$ ба $a, q>0$ тул $aq=6$ болно. Үүнийг $(1)$-д орлуулбал $\displaystyle\dfrac{6}{q}+6+6q=21$ буюу $q=2, q=\dfrac 12$ гэж гарна.

$q=2$ үед $a=3, a_n=3\cdot 2^{n-1}, S_n=3\cdot(2^n-1)$ болно.

$q=\dfrac 12$ үед $a=12, a_n=\dfrac{24}{2^n}, S_n=24-\displaystyle\dfrac{24}{2^n}$ болно.