Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Радиус вектор
Гурвалжны гурван орой $P$, $Q$, $R$-ийн радиус векторууд, $\vec{\mathstrut{p}}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$ байг. $PQ$ талыг $3:2$ харьцаанд хуваах $A$, $QR$ талын үргэлжлэлийг $3:4$ харьцаанд хуваах $B$, $RP$ талын үргэлжлэлийг $4:1$ харьцаанд хуваах $C$ цэгүүд өгөгдөв. $ABC$ гурвалжны хүндийн төв $G$ бол дараах векторуудыг $\vec{\mathstrut{p}}$, $\vec{q}$, $\vec{\mathstrut{r}}$-ээр илэрхийл.
- $A, B, C$ цэгүүдийн радиус векторууд;
- $\overrightarrow{AB}$;
- $G$-ийн радиус вектор.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $A(\vec{\mathstrut{a}})$, $B(\vec{\mathstrut{b}})$, $C(\vec{\mathstrut{c}})$, $G(\vec{\mathstrut{g}})$
гэе.
-
Хэрчмийг өгсөн харьцаанд хуваах үед радиус векторын томъёо ёсоор
$$\vec{a}=\dfrac{2\vec{p}+3\vec{q}}{3+2}=\dfrac 25\vec{p}+\dfrac 35\vec{q}\text{ болно.}$$
$B$ цэг $QR$-ийн үргэлжлэлийг $3:4$ харьцаанд хуваах тул $m=-3$, $n=4$ болно. Харин $C$ цэг $RP$-ийн үргэлжлэлийг ${4:1}$ харьцаанд хуваах тул $m=4$, $n=-1$ болно. Иймд $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$-г өгөгдсөн харьцааг ашиглан томъёогоор бичвэл $\vec{\mathstrut{b}}=\dfrac{4\vec{q}-3\vec{r}}{-3+4}=4\vec{q}-3\vec{r}$, $\vec{\mathstrut{c}}=\dfrac{-1\cdot \vec{r}+4\vec{p}}{4-1}=-\dfrac 13\vec{r}+\dfrac 43\vec{p}$ болно. - $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{a}}=(4\vec{q}-3\vec{r})-\left(\dfrac 25\vec{p}+\dfrac 35\vec{q}\right)=-\dfrac 25\vec{p}+\dfrac{17}{5}\vec{q}-3\vec{r}$ болно.
- $G$ хүндийн төв учир
$$\vec{g}=\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}=\dfrac 13\left(\dfrac 25+\dfrac 43\right)\vec{p}+ \dfrac 13\left(\dfrac 35+4\right)\vec{q}+\dfrac 13\left(-3-\dfrac 13\right)\vec{r}=$$
$$=\dfrac{26}{45}\vec{p}+\dfrac{23}{15}\vec{q}-\dfrac{10}{9}\vec{r} \text{болно.}$$