Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Талбайн хамгийн их ба бага утга
$(1, 2)$ цэгийг дайрсан шулуун ба $y=x^2$ параболоор хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг $S$ гэе. $S$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $(1, 2)$ цэгийг дайрсан шулууны өнцгийн коэффициентыг $m$
гэвэл тэгшитгэл нь $y=m(x-1)+2$ болно. Парабол ба шулууны
огтлолцлын цэгийн абсцисс нь ${x^2=m(x-1)+2}$ $\Rightarrow$ $x^2-mx+m-2=0$ байна.
$D=(-m)^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$ тул энэ шулуун $y=x^2$ параболтой 2 цэгээр огтолцоно. Эдгээр цэгийн $x$ координатыг
$\alpha,\beta (\alpha< \beta)$ гэвэл
$$\begin{aligned}[b]S&=\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(m(x-1)+2-x^2)\,\textrm{d}x\\ &=-\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)\,\textrm{d}x=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6} \end{aligned}$$
болно. $\beta-\alpha=\dfrac{m+\sqrt{D}}{2}-\dfrac{m-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}=\sqrt{(m-2)^2+4}$ тул $S=\dfrac{((m-2)^2+4)^{\frac32}}{6}$ байна. $(m^2-2)^2+4\geq 4$ учир $m=2$ үед $S$ нь хамгийн бага утгаа авна. Энэ үед $S=\dfrac43$ болно.
$$\begin{aligned}[b]S&=\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(m(x-1)+2-x^2)\,\textrm{d}x\\ &=-\mathop{\int\limits_{\alpha}^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)\,\textrm{d}x=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6} \end{aligned}$$
болно. $\beta-\alpha=\dfrac{m+\sqrt{D}}{2}-\dfrac{m-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}=\sqrt{(m-2)^2+4}$ тул $S=\dfrac{((m-2)^2+4)^{\frac32}}{6}$ байна. $(m^2-2)^2+4\geq 4$ учир $m=2$ үед $S$ нь хамгийн бага утгаа авна. Энэ үед $S=\dfrac43$ болно.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.