Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №10598
$\sin 18^{\circ}$-ийн утгыг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
$\angle A=36^\circ$, $\angle B=\angle C=72^\circ$ байх адил хажуут гурвалжны $AB=AC=a$ гэвэл $BC=2a\cos72^\circ$ байна. $\triangle BCD$, $\triangle CDA$ гурвалжны суурийн өнцгүүд тэнцүү тул адил хажуут байна. Иймд $$AD=DC=BC=2a\cos72^\circ$$ ба
$$BD=a-2a\cos72^\circ=2(2a\cos72^\circ)\cos72^\circ$$
тул
$$4\cos^272^\circ+2\cos72^\circ-1=0$$
$4c^2+2c-1=0$ тэгшитгэлээс $$c_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot4\cdot(-1)}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$$
ба $\cos72^\circ>0$ тул $\cos72^\circ=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ байна. Иймд
$$\sin 18^\circ=\cos 72^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$